﻿ Hierarchical Cluster Analysis

# Hierarchical Cluster Analysis

### Statistics > Multivariate Analysis > Hierarchical Cluster Analysis

Used to classify observations into groups when the groups are initially not known.

Hierarchical Cluster Analysis detects natural groupings in data. In hierarchical cluster analysis, each object is initially assigned to its own singleton cluster. The analysis then proceeds iteratively, at each stage joining the two most similar clusters into a new cluster, continuing until there is one overall cluster.

### Dialog box items

Variables:
Choose the columns containing the variables to be included in the analysis

Report:
The display of outputs of VisualStat.

### Data

Each row contains measurements on a single item or subject. You must have two or more numeric columns, with each column representing a different measurement. VisualStat delete rows with missing data from the worksheet before using this procedure.

### Statistics

Method

oLinkage: Choose the linkage function that will determine how the distance between two clusters is defined.

oDistance: Choose the distance function to be used in clustering.

oStandardize variables: Check to standardize all variables by subtracting the means and dividing by the standard deviation before the distance matrix is calculated. This is a good idea if variables are in different units and you wish to minimize the effect of scale differences.

Final Partition by

oNumber of Clusters: Choose to determine the final partition by a specified number of clusters. Enter this number in the box.

oSimilarity Level: Choose to determine the final partition by the specified level of similarity. Enter a value between 0 and 100.

During clustering, the distances between clusters of objects are computed using a linkage function. At each stage there is a distance matrix d. The entry, d(m,j), in row m and column j of this matrix is the distance from cluster m to cluster j. At the beginning, when each observation constitutes a cluster, the distance from cluster m to cluster j is the corresponding value in d, giving the distance from observation m to observation j. On each step of the amalgamation algorithm, the two rows (and columns) of the distance matrix corresponding to the two clusters to be joined are replaced by a new row (and column) corresponding to the new cluster created by joining the two clusters. The linkage function determines how the elements, d(m,j), of the new row, m, are calculated from the elements, d(k,j) and d(l,j), of the deleted rows, k and l.

Single
Single function computes the distance between two clusters as the distance of the two closest objects (nearest neighbors) in the clusters. Adopting a friends-of-friends clustering strategy closely related to the minimal spanning tree, the single linkage method tends to result in long chains of clusters.

Complete

Complete function computes the distance between two clusters as the greatest distance between any two objects in the different clusters (furthest neighbors). The complete linkage method tends to work well in cases where objects form naturally distinct clumps.

Average
Average function computes the distance between two clusters as the average distance between all pairs of objects in the two different clusters. This method is sometimes referred to as unweighted pair-group method using arithmetic averages, and abbreviated UPGMA.

Weighted Average
Weighted Average function computes the distance between two clusters as the average distance between all pairs of objects in the two different clusters, using the size of each cluster as a weighting factor. This method is sometimes referred to as weighted pair-group method using arithmetic averages, and abbreviated WPGMA.

Centroid
Centroid function computes the distance between two clusters as the difference between centroids. The centroid of a cluster is the average point in the multidimensional space. The centroid method is sometimes referred to as unweighted pair-group method using the centroid average, and abbreviated UPGMC.

Median
Median function computes the distance between two clusters as the difference between centroids, using the size of each cluster as a weighting factor. This is sometimes referred to as weighted pair-group method using the centroid average, and abbreviated WPGMC.

Ward
Ward function computes the distance between two clusters using Ward’s method. Ward’s method uses an analysis of variance approach to evaluate the distances between clusters. The smaller the increase in the total within-group sum of squares as a result of joining two clusters, the closer they are. The within-group sum of squares of a cluster is defined as the sum of the squares of the distance between all objects in the cluster and the centroid of the cluster. Ward's method tends to produce compact groups of well-distributed size.

### Distance Functions

During clustering, the distance between individual objects is computed using a distance function.

Available Distance Functions are :

Manhattan
Manhattan function computes the Manhattan (CityBlock) distance between two vectors (1 norm):

In most cases, the city-block distance measure yields results similar to the simple Euclidean distance. Note, however, that the effect of outliers is dampened, since they are not squared.

Euclidean
Euclidean function computes the Euclidean distance between two data vectors (2 norm):

Euclidean distance is simply the geometric distance in the multidimensional space.

Maximum
Maximum function computes the maximum (Chebychev) distance between two vectors:

This distance measure may be appropriate in cases when you want to define two objects as different if they differ on any one of the dimensions.

Power
Power function, parameters p (power) and r (root), computes the power distance between two vectors:

where p and r are user-defined parameters. Parameter p controls the progressive weight that is placed on differences on individual dimensions; parameter r controls the progressive weight that is placed on larger differences between objects. Appropriate selections of p and r yield, Euclidean, squared Euclidean, Minkowski, city-block, and many other distance metrics. For example, if p and r are equal to 2, the power distance is equal to the Euclidean distance.

Squared Euclidean
Squared Euclidean function computes the squared Euclidean distance between two vectors:

Squaring the simple Euclidean distance places progressively greater weight on objects that are further apart.

### Final Partition

The final partition is the grouping of clusters which will, hopefully, identify groups whose observations share common characteristics. The decision about final grouping is also called cutting the dendrogram. The complete dendrogram (tree diagram) is a graphical depiction of the amalgamation of observations into one cluster. Cutting the dendrogram is akin to drawing a line across the dendrogram to specify the final grouping.

How do you know where to cut the dendrogram? You might first execute cluster analysis without specifying a final partition. Examine the similarity and distance levels in the output results and in the dendrogram. The similarity level at any step is the percent of the minimum distance at that step relative to the maximum inter-observation distance in the data. The pattern of how similarity or distance values change from step to step can help you to choose the final grouping. The step where the values change abruptly may identify a good point for cutting the dendrogram, if this makes sense for your data.

### Storage

Distances: Check to store the vector of distances between all possible object pairs, computed using the current distance function.

Similarities: Check to store the vector of similarities.

Cophenetic Distances: Check to store the vector of cophenetic distances between all possible object pairs.

Linkage Matrix: Check to store the complete hierarchical linkage tree, computed from distances using the current linkage function. At each level in the tree, Columns 1 and 2 contain the indices of the clusters linked to form the next cluster. Column 3 contains the distances between the clusters.

Cluster Membership: Check to store an array of integers that identifies the cluster into which each object is grouped.

### Options

Histogram: Check to print the histogram of the distances

Dendrogram: Check to display the dendrogram or tree diagram, showing the amalgamation steps.

Row name length: Enter the number of characters of row names.

Dendrogram length: Enter the number of characters of dendrogram

### Example

The data were collected by the Economic Research Department of the Union Bank of Switzerland. They represent the economic conditions in 48 cities around in world in 1991.

1.Open the DataBook mva.vstz

2.Select the sheet Cities

3.Choose the tab Statistics, the group Multivariate Analysis and the command Hierarchical Cluster Analysis

4.In Variables, select Work, Price and Salary

5.Click Statistics  page

6.From Linkage method, choose Ward and from Distance measure choose Squared Euclidean

7.Check Standardize variables.

8.Under Final Partition by, choose Number of clusters and enter 6.

9.Click Options page

10.Check Histogram, Dendrogram and Linkage Tree,

11.From Row name length, enter 8. From Linkage tree length, enter 10.

12.Click OK

Report window output

 Hierarchical Cluster Analysis   Standardized Variables, Squared Euclidean Distance, Ward Linkage   Final Partition Number of clusters: 6     Maximum value in the distance matrix : 33.7117627841617 *—————*————————*————————*—————*—————*—————*——————*————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |Level|   Simil|    Dist|  CL1|  CL2|PCent| Cumul| Histogram of distances *—————*————————*————————*—————*—————*—————*——————*————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   91| -346.21|  150.42|   89|   90|55.71| 55.71|****************|****************|*************** |   90|   25.67|   25.06|   81|   87| 9.28| 64.99|******** |   89|   31.47|   23.10|   86|   88| 8.56| 73.55|******* |   88|   61.14|   13.10|   76|   82| 4.85| 78.40|**** |   87|   66.42|   11.32|   83|   85| 4.19| 82.60|**** |   86|   73.99|    8.77|   58|   84| 3.25| 85.84|*** |   85|   75.41|    8.29|   77|   80| 3.07| 88.91|*** |   84|   89.45|    3.56|   61|   78| 1.32| 90.23|* |   83|   91.90|    2.73|   15|   41| 1.01| 91.24|* |   82|   92.10|    2.66|   75|   79| 0.99| 92.23|* |   81|   92.55|    2.51|   65|   70| 0.93| 93.16|* |   80|   93.17|    2.30|   66|   71| 0.85| 94.01|* |   79|   94.75|    1.77|   62|   72| 0.66| 94.67|* |   78|   95.35|    1.57|   39|   43| 0.58| 95.25| |   77|   95.92|    1.38|   25|   74| 0.51| 95.76| |   76|   96.50|    1.18|   22|   73| 0.44| 96.19| |   75|   96.66|    1.13|   23|   69| 0.42| 96.61| |   74|   97.05|    0.99|    4|   68| 0.37| 96.98| |   73|   97.54|    0.83|   16|   67| 0.31| 97.29| |   72|   97.97|    0.68|   59|   64| 0.25| 97.54| |   71|   97.98|    0.68|   49|   63| 0.25| 97.79| |   70|   98.05|    0.66|   20|   60| 0.24| 98.04| |   69|   98.10|    0.64|   54|   57| 0.24| 98.27| |   68|   98.45|    0.52|   33|   52| 0.19| 98.47| |   67|   98.52|    0.50|   30|   53| 0.18| 98.65| |   66|   98.55|    0.49|   42|   50| 0.18| 98.83| |   65|   98.76|    0.42|   36|   56| 0.15| 98.99| |   64|   99.10|    0.30|   28|   48| 0.11| 99.10| |   63|   99.13|    0.29|    6|   17| 0.11| 99.21| |   62|   99.15|    0.29|    9|   24| 0.11| 99.31| |   61|   99.25|    0.25|   14|   32| 0.09| 99.41| |   60|   99.30|    0.24|   37|   55| 0.09| 99.49| |   59|   99.40|    0.20|   10|   47| 0.07| 99.57| |   58|   99.42|    0.19|   13|   46| 0.07| 99.64| |   57|   99.49|    0.17|    1|   51| 0.06| 99.70| |   56|   99.56|    0.15|   19|   35| 0.05| 99.76| |   55|   99.65|    0.12|    2|   31| 0.04| 99.80| |   54|   99.72|    0.10|   11|   12| 0.04| 99.84| |   53|   99.72|    0.09|    8|   44| 0.04| 99.87| |   52|   99.76|    0.08|    3|   18| 0.03| 99.90| |   51|   99.77|    0.08|    5|   40| 0.03| 99.93| |   50|   99.79|    0.07|    7|   38| 0.03| 99.96| |   49|   99.83|    0.06|   26|   29| 0.02| 99.98| |   48|   99.87|    0.04|   27|   45| 0.02| 99.99| |   47|   99.95|    0.02|   21|   34| 0.01|100.00|   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |Level|   Simil|    Dist|  CL1|  CL2|   WT| Hierarchical Linkage Tree *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   47|   99.95|    0.02|   21|   34|    2| London   Paris   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   48|   99.87|    0.04|   27|   45|    2| Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   49|   99.83|    0.06|   26|   29|    2| Mexico C Nairobi *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   50|   99.79|    0.07|    7|   38|    2| Caracas  Singpore *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   51|   99.77|    0.08|    5|   40|    2| Brussels Sydney *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   52|   99.76|    0.08|    3|   18|    2| Bogota   Kuala Lu *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   53|   99.72|    0.09|    8|   44|    2| Chicago  Toronto *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   54|   99.72|    0.10|   11|   12|    2| Dusseldo Frankfur *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   55|   99.65|    0.12|    2|   31|    2| Athens   Nicosia *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   56|   99.56|    0.15|   19|   35|    2| Lagos    Rio de J *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   57|   99.49|    0.17|    1|   51|    3| Amsterda Brussels Sydney *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   58|   99.42|    0.19|   13|   46|    2| Geneva   Zurich *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   59|   99.40|    0.20|   10|   47|    3| Dublin   London   Paris   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   60|   99.30|    0.24|   37|   55|    3| Seoul    Athens   Nicosia *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   61|   99.25|    0.25|   14|   32|    2| Helsinki Oslo   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   62|   99.15|    0.29|    9|   24|    2| Copenhag Madrid *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   63|   99.13|    0.29|    6|   17|    2| Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   64|   99.10|    0.30|   28|   48|    3| Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   65|   98.76|    0.42|   36|   56|    3| Sao Paul Lagos    Rio de J *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   66|   98.55|    0.49|   42|   50|    3| Tel Aviv Caracas  Singpore *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   67|   98.52|    0.50|   30|   53|    3| New York Chicago  Toronto *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   68|   98.45|    0.52|   33|   52|    3| Panama   Bogota   Kuala Lu *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   69|   98.10|    0.64|   54|   57|    5| Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels Sydney *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   70|   98.05|    0.66|   20|   60|    4| Lisbon   Seoul    Athens   Nicosia *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   71|   97.98|    0.68|   49|   63|    4| Mexico C Nairobi  Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   72|   97.97|    0.68|   59|   64|    6| Dublin   London   Paris    Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   73|   97.54|    0.83|   16|   67|    4| Houston  New York Chicago  Toronto *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   74|   97.05|    0.99|    4|   68|    4| Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   75|   96.66|    1.13|   23|   69|    6| Luxembou Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels Sydney *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   76|   96.50|    1.18|   22|   73|    5| Los Ange Houston  New York Chicago  Toronto *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   77|   95.92|    1.38|   25|   74|    5| Manila   Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   78|   95.35|    1.57|   39|   43|    2| Stockhol Tokyo   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   79|   94.75|    1.77|   62|   72|    8| Copenhag Madrid   Dublin   London   Paris    Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   80|   93.17|    2.30|   66|   71|    7| Tel Aviv Caracas  Singpore Mexico C Nairobi  Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   81|   92.55|    2.51|   65|   70|    7| Sao Paul Lagos    Rio de J Lisbon   Seoul    Athens   Nicosia *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   82|   92.10|    2.66|   75|   79|   14| Luxembou Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels Sydney   Copenhag Madrid   Dublin   London |     |        |        |     |     |     | Paris    Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   83|   91.90|    2.73|   15|   41|    2| Hong Kon Taipei *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   84|   89.45|    3.56|   61|   78|    4| Helsinki Oslo     Stockhol Tokyo   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   85|   75.41|    8.29|   77|   80|   12| Manila   Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu Tel Aviv Caracas  Singpore Mexico C Nairobi |     |        |        |     |     |     | Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   86|   73.99|    8.77|   58|   84|    6| Geneva   Zurich   Helsinki Oslo     Stockhol Tokyo   *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   87|   66.42|   11.32|   83|   85|   14| Hong Kon Taipei   Manila   Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu Tel Aviv Caracas  Singpore |     |        |        |     |     |     | Mexico C Nairobi  Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   88|   61.14|   13.10|   76|   82|   19| Los Ange Houston  New York Chicago  Toronto  Luxembou Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels |     |        |        |     |     |     | Sydney   Copenhag Madrid   Dublin   London   Paris    Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   89|   31.47|   23.10|   86|   88|   25| Geneva   Zurich   Helsinki Oslo     Stockhol Tokyo    Los Ange Houston  New York Chicago |     |        |        |     |     |     | Toronto  Luxembou Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels Sydney   Copenhag Madrid   Dublin |     |        |        |     |     |     | London   Paris    Montreal Milan    Vienna *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   90|   25.67|   25.06|   81|   87|   21| Sao Paul Lagos    Rio de J Lisbon   Seoul    Athens   Nicosia  Hong Kon Taipei   Manila |     |        |        |     |     |     | Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu Tel Aviv Caracas  Singpore Mexico C Nairobi  Buenos A |     |        |        |     |     |     | Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— |   91| -346.21|  150.42|   89|   90|   46| Geneva   Zurich   Helsinki Oslo     Stockhol Tokyo    Los Ange Houston  New York Chicago |     |        |        |     |     |     | Toronto  Luxembou Dusseldo Frankfur Amsterda Brussels Sydney   Copenhag Madrid   Dublin |     |        |        |     |     |     | London   Paris    Montreal Milan    Vienna   Sao Paul Lagos    Rio de J Lisbon   Seoul   |     |        |        |     |     |     | Athens   Nicosia  Hong Kon Taipei   Manila   Bombay   Panama   Bogota   Kuala Lu Tel Aviv |     |        |        |     |     |     | Caracas  Singpore Mexico C Nairobi  Buenos A Johannes *—————*————————*————————*—————*—————*—————*——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————   Representation of Hierarchical Clustering                                2                     4                     6                      8                     10           ——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+——————————+   3 Johannes*         | 3 Buenos A*           | 3  Nairobi*           | 3 Mexico C--*             | 3 Singpore* |           | | 3  Caracas* |           | | 3 Tel Aviv------*                 | 3 Kuala Lu*     |           |     | 3   Bogota*     |           |     | 3   Panama-*    |            |    | 3   Bombay-*    |            |    | 3   Manila--------*                   | 6   Taipei--*     |             |     | 6 Hong Kon------------------*                             | 2  Nicosia*                 |           |                 | 2   Athens*                 |           |                 | 2    Seoul*                 |           |                 | 2   Lisbon--*               |             |               | 2 Rio de J* |               |           | |               | 2    Lagos* |               |           | |               | 2 Sao Paul-------------------------------------------------------------------------------------------------------------*                                                                                                                        | 1   Vienna*                                                                                                            |           |                                                                                                            | 1    Milan*                                                                                                            |           |                                                                                                            | 1 Montreal*                                                                                                            |           |                                                                                                            | 1    Paris*                                                                                                            |           |                                                                                                            | 1   London*                                                                                                            |           |                                                                                                            | 1   Dublin-*                                                                                                           |            |                                                                                                           | 1   Madrid*|                                                                                                           |           ||                                                                                                           | 1 Copenhag--*                                                                                                          |             |                                                                                                          | 1   Sydney* |                                                                                                          |           | |                                                                                                          | 1 Brussels* |                                                                                                          |           | |                                                                                                          | 1 Amsterda* |                                                                                                          |           | |                                                                                                          | 1 Frankfur* |                                                                                                          |           | |                                                                                                          | 1 Dusseldo-*|                                                                                                          |            ||                                                                                                          | 1 Luxembou----------*                                                                                                  |                     |                                                                                                  | 4  Toronto*         |                                                                                                  |           |         |                                                                                                  | 4  Chicago*         |                                                                                                  |           |         |                                                                                                  | 4 New York-*        |                                                                                                  |            |        |                                                                                                  | 4  Houston-*        |                                                                                                  |            |        |                                                                                                  | 4 Los Ange-----------------*                                                                                           |                            |                                                                                           | 5    Tokyo-*               |                                                                                           |            |               |                                                                                           | 5 Stockhol---*             |                                                                                           |              |             |                                                                                           | 5     Oslo*  |             |                                                                                           |           |  |             |                                                                                           | 5 Helsinki------*          |                                                                                           |                 |          |                                                                                           | 5   Zurich*     |          |                                                                                           |           |     |          |                                                                                           | 5   Geneva--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

### Interpreting the results

The dendrogram for a ward linkage cluster analysis of the variables Work, Price, and Salary appears in report window. On the basis of the cluster dendrogram, we consider dividing the cities into six groups. The group 1 contains Western European cities. The group 2 contains cities from the developing countries of Europe, Africa, and the Americas. The exception in this group is Seoul, which is an Asian city. The group 3 contains developing Asian, South and Central American cities. The exceptions in this group is Tel Aviv. The group 4 contains all of the US and Canadian cities. The group 5 contains predominantly Scandavian and Swiss cities; however, Tokyo also appears in this group. Finally, the group 6 contains cities from small Asian nations such as Taipei, and Hong Kong.